Erna's Deary: MENJELASKAN HUBUNGAN ANTARA KOEFISIEN DAN DISKRIMINAN FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA

Fungsi Kuadrat
Dalam materi terdahulu telah mempelajari cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 (a ≠0) dengan menggunakan rumus kuadrat atau rumus abc,

Dari rumus itu tampak bahwa akar-akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai b²– 4ac.

Bentuk b²–4ac disebut diskriminan (pembeda) dari persamaan kuadrat ax²+bx+c=0 dan dilambangkan dengan huruf D, sehingga D = b²– 4ac. Pemberian nama/istilah diskriminan D = b² – 4ac , dikarenakan nilai D = b²- 4ac ini yang mendiskriminasikan (membedakan) jenis akar-akar persamaan kuadrat. Jadi kegunaan diskriminan adalah untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat tanpa harus menyelesaikan persamaan kuadratnya.

1.Jika D>0, persamaan kuadrat tersebut kedua akarnya nyata (real) dan berlainan .

Terdapat dua kemungkinan:

a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya nyata, berlainan dan

rasional

b. Jika D tidak berbentuk kuadrat, maka kedua akarnya nyata, berlainan, dan irasional.

2. Jika D= 0, maka persamaan kuadrat tersebut kedua akarnya nyata dan sama (kembar).

3.Jika D<0, maka persamaan kuadrat tersebut kedua akarnya tidak nyata(khayal) atau imajiner

Catatan:
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat:

1. Kerjakan dengan pemfaktoran

2. Jika tidak dapat difaktorkan, maka lihat nilai diskriminannya (D)

3. Bila D≥0, kerjakan dengan melengkapkan bentuk kuadrat atau rumus abc

4. Bila D<0, berarti persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki akar nyata.

Selanjutnya, untuk mengetahui jenis-jenis akar persamaan kuadrat (real atau tidak, sama atau tidak, rasional atau irasional) kita tidak perlu menentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut, tetapi cukup menghitung nilai diskriminan D = b²– 4ac.

Contoh
Tanpa harus menyelesaikan persamaan terlebih dulu, tentukan jenis akar-akar tiap persamaan kuadrat berikut!

1. x²+2x-15=0

2. x²+6x+9=0

3. 2x²-2x+3=0

Pembahasan:
1. x²+2x-15=0
berarti a = 1, b = 2, c = -15

Nilai diskriminannya adalah:

D = b²– 4ac.

=2²-4.1.-15

=4+60

=64

64 > 0, nilai D berbentuk kuadrat sempurna

Jadi, jenis akar persamaan kuadrat tersebut adalah nyata, berlainan, dan rasional.

Bukti : Dengan cara memfaktorkan

(x+5) (x-3)

x=-5 x=3

jadi terbukti akarnya nyata, berlainan dan rasional

2. x²+6x+9=0 berarti a = 1, b = 6, c = 9

Nilai diskriminannya adalah:

D =b²– 4ac.

=6²-4.1.9

=36-36

D=0

Jadi, jenis akar persamaan kuadrat adalah kedua akarnya nyata dan sama (kembar)

Bukti : dengan pemfaktoran

x²+6x+9=0

(+3) (x+3)

x = -3 atau x = -3 jadi, terbukti jenis akarnya nyata dan sama (kembar)

4. berarti a = 2, b = -2, c = 3

3. 2x²-2x+3=0

Nilai diskriminannya adalah:

D =b²– 4ac.

=(-2)²-4.2.3

=4-24=-20

D<0

Jadi, persamaan kuadrat adalah tidak mempunyai akar nyata

Diskriminan Fungsi kuadrat
Posisi kurva fungsi y = ax² +bx +c terhadap sumbu x ditentukan oleh diskriminannya

D > 0 memotong sumbu x di dua titik berbeda
D = 0 menyinggung sumbu x
D < 0 diluar sumbu x

Sedangkan arah membuka ditentukan oleh nilai a

Contoh
Tentukan sifat dari kurva fungsi kuadrat !

Jawaban
a=-2 , b= 1, c=3

D =b² – 4ac.

D = 1² – 4(-2)3 = - 23.

D<0, a < 0

Grafik membuka ke atas dan tidak memotong sumbu x
Grafik selalu di bawah sumbu x atau definit negative

CONTOH SOAL

Diketahui fungsi f(x) = , tentukan nilai k agar grafik fungsi tersebut menyinggung sumbu x.

Pembahasan:
f(x) = x² – (k +3)x + (3k + 1) berarti a = 1, b = -(k + 3), dan c = 3k + 1

Nilai diskriminan:
D = b² – 4ac

= (-(k +3))² – 4(1)(3k + 1)

= k² + 6k + 9 – 12k – 4

= k² – 6k + 5

Syarat agar grafik fungsi f menyinggung sumbu X adalah D = 0.
k² – 6k + 5 = 0
(k – 1)(k – 5) = 0
k = 1 atau k = 5
jadi agar grafik fungsi f menyinggung sumbu X, maka nilai k = 1 atau k = 5.

2. Diketahui fungsi kuadrat f dengan f(x) = x²+ 3mx + (4m + 1)
Tentukan batas-batas nilai m agar grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang berbeda.

Pembahasan:
f(x) = x² + 3mx + (4m + 1), berarti a = 1, b = 3m, dan c = 4m + 1

Nilai diskriminan :

D = b² – 4ac

=(3m)² – 4(1)(4m + 1)

= 9m² – 16m – 4

Syarat agar grafik fungsi memotong sumbu X di dua titik yang berbeda adalah D > 0.

9m² – 16m – 4 > 0

(9m + 2)(m – 2) > 0

m < -2/9 atau m > 2

Sumber materi

Lembar Kerja Siswa Matematika kelas x semester ganjil

https://belajar.kemdikbud.go.id/SumberBelajar/tampilajar.php?ver=12&idmateri=89&lvl1=3&lvl2=2&lvl3=0&kl=10 (09 oktober 2016 16:15)